Question

如图，分别是直三棱柱ABC-A₁B₁C₁直观图及其正视图、俯视图、侧视图．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求二面角A-A₁B-C的大小．

Answer 1

分析：由三视图可知三棱柱的底面是一个直角边为a的等腰直角三角形，高为a，由于在C点出现三线垂直，故我们可以以C为原点，分别以CB、CC₁、CA为x、y、z轴建立空间坐标系，利用向量法解题．
（1）要证MN∥平面ACC₁A₁，即证直线MN的方向向量与平面ACC₁A₁的法向量垂直；
（2）要证MN⊥平面A₁BC，即证直线MN的方向向量与平面A₁BC的法向量平行；
（3）二面角A-A₁B-C的大小，即求平面A₁BA的法向量与平面A₁BC的法向量的夹角（或其补角）

解答：解：（Ⅰ）以C为原点，分别以CB、CC₁、CA为x、y、z轴建立坐标系，
则AC=BC=CC₁=a，A（0，0，a），C₁（0，a，0），
M(

a

2

 ， 

a

2

 ， 

a

2

)，N(

a

2

 ， a ， 0)，
AC₁=（0，a，-a），

MN

=(0 ， 

a

2

 ， -

a

2

)，
∴

AC1

=2

MN

，AC₁∥MN，
故MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）∵A₁（0，a，a）、B（a，0，0），
∴

A1B

=(a ， -a ， -a)；
又

MN

•

A1B

=0×a-a×

a

2

-a×(-

a

2

)=0，

MN

•

CB

=0×a+0×

a

2

+0×(-

a

2

)=0，
∴MN⊥A₁B，MN⊥CB，
又∵CB∩A₁B=B，CB，A₁B?平面A₁BC
∴MN⊥平面A₁BC．
（Ⅲ）作CH⊥AB于H点，
∵平面ABC⊥平面ABB₁A₁，
∴CH⊥平面A₁BA，
故平面A₁BA的一个法向量为

CH

=(

a

2

 ， 0 ， 

a

2

)，
而平面A₁BC的一个法向量为

MN

=(0 ， 

a

2

 ， -

a

2

)，
∴cos?

CH

 ， 

MN

＞=

CH • MN

| CH |•| MN |

=

- a 2 × a 2

2 a 2 × 2 a 2

=-

1

2

，
故二面角A-A₁B-C的大小为

π

3

．

点评：根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．