Question

已知定义在上的奇函数满足：当时，．

（1）求的解析式和值域；

（2）设，其中常数．

①试指出函数的零点个数；

②若当是函数的一个零点时，相应的常数记为，其中．证明：（）．

Answer 1

解：（1）为奇函数，．

当时，，则，

         

时，，，，

的值域为．          

（2）①函数的图象如图所示，当时，方程

有三个实根；当或时，方程只有一个实

根；当或时，方程有两个实根．

（法一）：由，解得，

的值域为，只需研究函数在上的图象特征．

设，，，

令，得，．

当时，，当时，，

又，即，由，，得，

的大致图象如图所示．

根据图象可知，当时，

直线与函数的图像仅有一个交点，则函数

在上仅有一个零点，记零点为，则分别在区间、

、上，根据图像，方程有两个交点，因此

函数有两个零点．         

类似地，当时，函数在上仅有零点，因此函数有、、这三个零点．             

当时，函数在上有两个零点，一个零点是，另一个零点在内，因此函数有三个零点．       

当时，函数在上有两个零点，且这两个零点均在内，因此函数有四个零点．      

当时，函数在上没有零点，因此函数没有零点． …9分

（法二）： ，令，得，

，．

当时，，当时，，

当时，取得极大值．  

（Ⅰ）当的极大值，即时，函数在区间上无零点，因此函数无零点．     

（Ⅱ）当的极大值，即时，

，函数的图像如图所示，函数有零点．

由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．

（Ⅲ）当的极大值且，

即时，在上单调递增，因为，，函数的图像如图所示，函数在存在唯一零点，其中．

由图可知方程有两不等的实根，因此函数有两个零点．

（Ⅳ）当的极大值且，

即时：

由，得，

由，得，

根据法一中的证明有．

（ⅰ）当时，，

，函数的图像如图所示，

函数在区间有唯一零点，其中．

由图可知方程有两不等的实根，因此

函数有两个零点．

（ⅱ）当时，，

，函数的图像如图所示，

函数在区间有唯一零点．

由图可知方程有三个不等的实根，因此函数有三个零点．

（ⅲ）当时，，，函数的

图像如图所示，函数在区间有唯一零点，其中．

由图可知方程有两个不等的实根，因此函数

有两个零点．  

（ⅳ）当时，，，

函数的图像如图所示，函数在区间有

两个零点，分别是和，其中．

由图可知方程有一个实根，方程

有两个非的不等实根，因此函数有三个零点．   

（ⅴ）当时，，，

函数的图像如图所示，函数在区间有两个

零点、，其中．

由图可知方程、都有两个不等的实根，

且这四个根互不相等，因此函数有四个零点．  

综上可得：

当时，函数有两个零点

当、时，函数有三个零点；    

    当时，函数有四个零点；      

当时，函数无零点．        

②因为是函数的一个零点，所以有，

，，

，

，．      

记，，

当时，，

当时，，即．

故有，则．

当时，；

当时，

（法一）：，    

……

                        ．

综上，有…，．  

（法二）：当时，；

当时，，    

……

                        ．

综上，有…，．