Question

设a₁＞a₂＞…＞a_n＞a_n+1，求证：

1

a1-a2

+

1

a2-a3

+…+

1

an-an+1

+

1

an+1-a1

＞0．

Answer 1

分析：将a₁-a_n+1化成（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-a_n+1），再利用柯西不等式得到[（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-a_n+1）]•[

1

a1-a2

+

1

a2-a3

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

an-an+1

]≥（

a1-a2

•

1

a1-a2

+

a2-a3

•

1

a2-a3

+…+

an-an+1

•

1

an-an+1

）²=n²＞1．再化简即可证得结论．

解答：证明：∵a₁-a_n+1=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-a_n+1），
∴[（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-a_n+1）]•[

1

a1-a2

+

1

a2-a3

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

an-an+1

]
≥（

a1-a2

•

1

a1-a2

+

a2-a3

•

1

a2-a3

+…+

an-an+1

•

1

an-an+1

）²=n²＞1．
∴（a₁-a_n+1）[

1

a1-a2

+

1

a2-a3

+

1

a3

-

1

a4

+…+

1

an-an+1

]＞1
即

1

a1-a2

+

1

a2-a3

+…+

1

an-an+1

＞

1

a1-an+1

．
故

1

a1-a2

+

1

a2-a3

+…+

1

an-an+1

+

1

an+1-a1

＞0．

点评：本题考查了不等式的证明，主要考查了柯西不等式的应用，属于中档题．