Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=8，S₃=15．
（1）若a₂，a₇，a_m成等比数列，求m的值；
（2）若a_k+a_k+1+a_k+2+…+a_k+9=215，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出首项和公差即可得到结论．
（2）求出数列的和，解方程即可．

解答 解：（1）∵a₃=8，S₃=15．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=8}\\{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}d=15}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=8}\\{{a}_{1}+d=5}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=3}\end{array}\right.$，
即a_n=2+3（n-1）=3n-1．
若a₂，a₇，a_m成等比数列，
则a₂a_m=a₇²，
即5（3m-1）=20²=400，
即3m-1=80，
3m=81，则m=21；
（2）若a_k+a_k+1+a_k+2+…+a_k+9=215，
构成以a_k为首项，数列的10项和，
即10a_k+$\frac{10×9}{2}×3$=215，
即10a_k=215-135=80，
即a_k=8=3k-1．
则3k=9，
解得k=3．

点评 本题主要考查等差数列的通项公式以及求和公式的应用，根据条件求出首项和公差是解决本题的关键．考查学生的计算能力．