Question

（2010•南充一模）设函数f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³
①求f（x）的解析式；
②是否存在正整数a，使f（x）的最大值为12？若存在求出a的值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（1）先设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），求出它关于直线x=1的对称点的坐标，由题意给出x的范围，再代入g（x）的解析式化简，再由偶函数的关系式求出另外一部分的解析式，最后用分段函数的形式表示出来；
（2）先假设存在，由偶函数的性质确定研究的对象，再求出函数的导数和临界点，根据临界点与区间的关系分类讨论，由导数与函数的关系判断函数的单调性，并求出函数的最值，再由题意列出方程求出a的值．

解答：解：（1）设f（x）的图象上任意点（x，f（x）），
它关于直线x=1的对称点（2-x，f（x））在g（x）的图象上，
当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，且g（x）=2a（x-2）-4（x-2）³，
∴f（x）=g（2-x）=-2ax+4x³，
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），∴f（-x）=2ax-4x³，
又∵f（x）是定义在x∈[-1，1]上的偶函数，
∴f（x）=2ax-4x³，
则f(x)=

-2ax+4x3      (-1≤x≤0) 2ax-4x3          (0＜x≤1)

，
（2）假设存在正整数a，使函数f（x）的最大值为12，
又f（x）为偶函数，故只需研究函数f（x）=2ax-4x³在x∈（0，1]的最大值
令f′（x）=2a-12x²=0，得x=

a 6

(a＞0)，
若

a b ∈(0，1]，即0＜a≤6

时：

x∈(0， a 6 ]，f′(x)＞0，f(x)

单调递增，

x∈( a 6 ，1]，f′(x)＜0，f(x)

单调递减，
则

[f(x)]max=f( a 6 )=2a× a 6 -4( a 6 )3＜2a× a 6 ≤12

故此时不存在符合题意的a，
若

a 6 ＞1，即a＞6

时，f′（x）＞0在（0，1]上恒成立，
则f（x）在（0，1]上单调递增，
∴

[f(x)]max=f(1)=2a-4

，
令2a-4=12，得a=8，
综上，存在a=8满足题意．

点评：本题考查了函数的对称性，奇偶性的综合应用，还考查了导数与函数性质之间的关系，涉及了分类讨论思想和存在性问题等，比较综合，属于中档题．