Question

甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以与乙船相同的速度由A处向南偏西60°方向行驶，如图所示，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近，此时两船相距多少海里？并请描述此时甲船相对与海岛O的位置．（海岛O在A的正东方向10海里处）

Answer 1

分析：设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C，D两点，表示出AC与AD，利用余弦定理列出关系式，利用二次函数的性质求出CD的最小值，以及此时x的值，根据三角形ACO为顶角为150°，底角为15°，腰长为10的等腰三角形，求出底边，即为AO的长．

解答：解：设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C，D两点，
则AC=10x，AD=AB-BD=20-10x，
∴CD²=AC²+AD²-2AC•AD•cos60°=（10x）²+（20-10x）²-2×10x×（20-10x）×

1

2

=100x²+100x²-400x+400-200x+100x²=300x²-600x+400=300（x-1）²+100，
∵当CD²取得最小值100时，CD取得最小值10，
∴当x=1时，CD取得最小值，此时△ACD为等边三角形，
则经过1小时后，甲乙船相距最近，距离为10海里，
此时甲船在海岛O的西偏南15°处，与O相距2×10cos15°=5（

6

+

2

）（海里）（cos15°=cos（45°-30°）=

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

6 + 2

4

）．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二次函数的性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握定理是解本题的关键．