Question

直四棱柱中，底面是等腰梯形，，，为的中点，为中点．

 (1) 求证：；

(2) 若，求与平面所成角的大小

 

 

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：连结AD₁，在△ABD₁中

∵E是BD₁的中点，F是BA中点，

∴EF//AD₁

又EF⊄平面ADD₁A₁，AD₁⊂平面ADD₁A₁

∴EF∥平面ADD₁A₁.

(2)解法1：延长D₁A₁至H，使A₁H＝D₁A₁，延长DA至G，使AG＝DA，并连结HG和A₁G，则A₁G∥D₁A∥EF

 

 

∴A₁G∥平面DEF，

∴A₁到平面DEF的距离等于G到平面DEF的距离，设为x

由题意可得，DF＝BC＝AD＝1，连DB，在Rt△D₁DB中，DE＝D₁B

又DB＝，且DD₁＝，

∴DE＝，

又EF＝AD₁＝，

在△DEF中，由余弦定理得：

cos∠EDF＝

∴S_△DEF＝，

又点E到平面DGF的距离d＝DD₁＝

 

不难证明∠DFG是Rt△(∵FA＝DG)

∴S_△DFG＝×DF×FG＝×1×

由V_E－DGF＝V_G－DEF得，x·S_△DEF＝d·S_△DFG，

∴即A₁到平面DEF的距离为，

设A₁F与平面DEF成α角，则

sinα＝，∴α＝arcsin，

即A₁F与平面DEF所成角的大小为arcsin.

【解析】略