Question

设点P是双曲线

x2

9

-

y2

7

=1右支上一动点，M，N分别是圆（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1上的动点，则|PM|-|PN|的取值范围是（　　）

A、[4，8]

B、[2，6]

C、[6，8]

D、[8，12]

Answer 1

分析：确定双曲线的焦点正好是两圆（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心，结合双曲线的定义，求出|PM|-|PN|的最小值与最大值，即可得出|PM|-|PN|的取值范围．

解答：解：由题意，圆（x+4）²+y²=1的圆心是（-4，0），圆（x-4）²+y²=1的圆心是（4，0），双曲线

x2

9

-

y2

7

=1的两个焦点坐标为（±4，0），|PF₁|-|PF₂|=2a=6，
∴双曲线的焦点正好是两圆（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的圆心，
∵两圆（x+4）²+y²=1和（x-4）²+y²=1的半径分别是r₁=1，r₂=1，
∴|PM|_min=|PF₁|-1，|PN|_max=|PF₂|+1，|PM|_max=|PF₁|+1，|PN|_min=|PF₂|-1，
∴|PM|-|PN|的最小值=（|PF₁|-1）-（|PF₂|+1）=6-2=4，
|PM|-|PN|的最大值=（|PF₁|+1）-（|PF₂|-1）=6+2=8，
∴|PM|-|PN|的取值范围是[4，8]．
故选A．

点评：本题考查双曲线的定义及其应用，解题时要注意圆的性质的合理运用．