Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
（1）求证：AD∥面D₁BC；
（2）证明：AC⊥BD₁；
（3）求三棱锥D₁-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由长方体的几何特征可得AD∥BC，进而由线面平行的判定定理可得AD∥面D₁BC；
（2）根据正方形的对角线互相垂直及长方体的几何特征结合线面垂直的定义，可得AC⊥BD，AC⊥BD₁，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面BDD₁，进而由线面垂直的定义得到AC⊥BD₁；
（3）由已知中长方体的长宽高，结合（2）中DD₁⊥底面ABCD，即DD₁为棱锥的高，代入棱锥体积公式，可求三棱锥D₁-ABC的体积．

解答：证明：（1）在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD∥BC
又∵AD?D₁BC，BC?D₁BC
∴AD∥面D₁BC；
（2）连接BD交AC于O，
由长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC
可得底面ABCD为正方形
故AC⊥BD
又∵DD₁⊥底面ABCD，AC?底面ABCD
∴DD₁⊥AC
又∵BD∩DD₁=D，BD，DD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥平面BDD₁，
又∵BD₁?平面BDD₁，
∴AC⊥BD₁；
（3）∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=1，AA₁=2，
∴S_△ABC=

1

2

×1×1=

1

2

由（2）中DD₁⊥底面ABCD，
∴三棱锥D₁-ABC的体积V=

1

3

×S_△ABC×DD₁=

1

3

点评：本题考查的知识点是线面平行的判定定理，线面垂直的判定与性质，棱锥的体积，熟练掌握长方体的几何特征及空间线面关系的判定定理是解答的关键．