Question

（2009•淮安模拟）选修4-4：几何证明选讲
在曲线C₁：

x=1+cosθ y=sinθ

（θ为参数）上求一点，使它到直线C₂：

x=-2 2 + 1 2 t y=1- 1 2 t

（t为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离．

Answer 1

分析：将直线的参数方程化为普通方程，曲线C₁任意点P的坐标为（1+cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值，并求出此时θ的度数，即可确定出所求点P的坐标．

解答：解：直线C₂化成普通方程是x+y-2

2

-1=0  …（2分）
设所求的点为P（1+cosθ，sinθ），…（3分）
则C到直线C₂的距离d=

|1+cosθ+sinθ+2 2 -1|

2

…（5分）
=|sin（θ+

π

4

）+2|…（7分）
当θ+

π

4

=

3π

2

时，即θ=

5π

4

时，d取最小值1…（9分）
此时，点P的坐标是（1-

2

2

，-

2

2

）…（10分）

点评：本小题主要考查直线的参数方程的应用、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．