Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，记和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数为M（A）．如当A={1，2，3，4}时，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．对于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若实数b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差数列，则M（B）=　　．

Answer 1

考点：

等差数列的性质．

专题：

等差数列与等比数列．

分析：

把 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成图表，严格利用题目给出的新定义，采用列举法来进行求解即可．

解答：

解：对于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若实数b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差数列，

则 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示图表：

b₁+b₂，b₂+b₃，b₃+b₄，…，b_n﹣1+b_n，

b₁+b₂，b₂+b₄，b₃+b₅，…，b_n﹣2+b_n，

   …，…，…，

b₁+b_n﹣2，b₂+b_n﹣1，b₃+b_n，

b₁+b_n﹣1，b₂+b_n，

b₁+b_n，

∵数列{b_n}是等差数列，

∴b₁+b₄=b₂+b₃，b1+b5=b₂+b₄，…，b₁+b_n=b₂+b_n﹣1．

∴第二列中只有 b₂+b_n 的值和第一列不重复，即第二列剩余一个不重复的值，

同理，以后每列剩余一个与前面不重复的值，

∵第一列共有n﹣1个不同的值，后面共有n﹣1列，

∴所有不同的值有：n﹣1+n﹣2=2n﹣3，故M（B）=2n﹣3，

故答案为 2n﹣3．

点评：

本题的属于新定义的创新题，主要考查等差数列的定义和性质，题目篇幅长，难于理解是解决这一问题的障碍，属于中档题．