题目内容
如图，边长为2的正方形
中，点
是
的中点，点
是
的中点，将△
、△
分别沿
、
折起，使
、
两点重合于点
，连接
，
．
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值．
（1）详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）由
，
证出
平面
，进而证出结论；（2）方法一：根据对称可判断
即为所求，由（1）可证△
为直角三角形，再求出边长即可；方法二：建系，求出平面
和平面的法向量，两法向量的夹角的余弦值即为所求.
试题解析：（1）在正方形
中，有
，
1分
则，
2分
又
3分
∴平面
4分
而
平面，∴
5分
（2）方法一：连接
交
于点
，连接
6分
∵在正方形中，点
是
的中点，点
是
的中点，
∴
，
，
∴点为的中点，
且
7分
∵正方形的边长为2，∴
，∴
8分
∴为二面角
的平面角 9分
由（1）可得
，
∴△为直角三角形 10分
∵正方形的边长为2，
∴
，
，
∴
，
，
又
11分
∴ 
12分
∴
13分
∴二面角的余弦值为
14分
方法二：∵正方形的边长为2，点是的中点，点是的中点，
∴
，
∴
6分
∴
，∴
7分
由（1）得平面，
∴分别以
，
，
为
，
，
轴建立如图所示的空间直角
坐标系
，
8分
则
，
，
，
9分
∴
，
，
设平面的一个法向量为
，则由
，
可取
11分
又平面的一个法向量可取
12分
∴
13分
∴二面角的余弦值为.
14分.
考点：线面垂直的判定及性质，二面角的求法.
如图放置的边长为1的正三角形PAB沿x轴滚动，设顶点A（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系式是y=f（x），则f（x）在区间[-2，1]上的解析式是
（2011•洛阳一模）如图放置的边长为1的正三角形ABC沿x轴的正方向滚动，设顶点A（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x）．则f（x）在两个相邻零点间的图象与x轴围成的面积是
如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP=2，连接AP、BP、CP、DP，M、N分别是AB、BC的中点，以O为原点，射线OM、ON、OP分别为Ox轴、Oy轴、Oz轴的正方向建立空间直角坐标系．若E、F分别为PA、PB的中点，求A、B、C、D、E、F的坐标．
如图放置的边长为2的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点P（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是y=f（x），则f（x）的最小正周期为