Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx对任意x∈R均有f（x-4）=f（2-x）成立，且函数的图象过点A．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若不等式f（x-t）≤x的解集为[4，m]，求实数t、m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由x∈R均有f（x-4）=f（2-x）成立，且函数的图象过点A（1，）得到俩个方程，解出a、b即可
（2）由f（x-t）≤x的解集为[4，m]，得4、m为方程f（x-t）-x=0的俩个根，由根与系数之间的关系列出方程，解出t、m的值
解答：解：（1）∵f（x）=ax²+bx对任意x∈R恒有f（x-4）=f（2-x）成立，且图象过点，
∴（2分）

化简a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
得（2b-4a）x+（12a-6b）=0．（3分）
此一元一次方程对x∈R都成立，于是，，即b=2a．
进一步可得．（6分）∴．（7分）
（2）∵f（x-t）≤x的解集为[4，m]，∴（9分）
∴4、m是方程x²-2tx+t²-2t=0的两根．（10分）
于是，，解此方程组，
得．（13分）
∴．（14分）
点评：本题考查待定系数法求函数解析式以及根与系数之间的关系的应用，属简单题