题目内容

若定义在区间D上的函数f（x）对于D上的任意n个值x1，x2，…，xn总满足，
f(x1)+f(x2)+…+f(xn)
n
≤f(
x1+x2+x3+…+xn
n
)则称f（x）为D上的凸函数，现已知f（x）=cosx在（0，
π
2
）上是凸函数，则在锐角△ABC中，cosA+cosB+cosC的最大值是
 
．
分析：利用已知结论，可将cosA+cosB+cosC转化为A+B+C的余弦求解，因为A+B+C=180°为定值，即可得到结论．
解答：解：利用已知结论，则cosA+cosB+cosC≤3cos（
A+B+C
3
）=3cos
π
3
=
3
2
，
故答案为：
3
2
点评：本题考查演绎推理、考查对式子的观察和运用能力、利用已知结论解决问题的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
已知函数f(x)=x2+
2
x
+alnx(x＞0)，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

（本小题满分14分）

已知函数

(Ⅰ)请研究函数的单调性；

(Ⅱ)若函数有两个零点，求实数的取值范围；

(Ⅲ)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.若函

 

数的最小值为，试判断函数是否为“凹函数”，并对你的判断加以证明.

 
已知函数，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．
已知函数，
（Ⅰ） 若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=f（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立，则称函数y=f（x）为区间D上的“凹函 数”．试证当a≤0时，f（x）为“凹函数”．

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