Question

已知函数f（x）=

x2+ax+a

x

，且a＜1
（1）用定义证明f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数；
（2）若函数f（x）的定义域为[1，+∞），且m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义证明函数的单调性．
（2）利用函数的单调性的性质求解m的取值范围．

解答：解：（1）因为x∈[1，+∞），所以设1≤x₁＜x₂，
若a=0，则f(x)=

x2

x

=x在[1，+∞）上是增函数．
若a＜0，则f(x)=x+

a

x

+a在[1，+∞）上是增函数．
若0＜a＜1，则f(x1)-f(x2)=x1+

a

x1

+a-(x2+

a

x2

+a)=x1-x2+

a(x2-x1)

x1x2

=(x1-x2)?

1-ax1x2

x1x2

，
因为1≤x₁＜x₂，a＜1，所以x₁-x₂0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），即函数为增函数．
综上恒有f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数．
（2）由（1）知函数f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，
所以由f（3m）＞f（5-2m），得

3m≥1 5-2m≥1 3m＞5-2m

，即

m≥ 1 3 m≤2 m＞1

，所以1＜m≤2．

点评：本题主要考查了函数单调性的证明和应用，要求熟练掌握函数单调性的应用．