Question

已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα）
（1）若α∈（-π，0），|

AC

|=|

BC

|，求α的值．
（2）若

AC

•

BC

=0，求

2sin2α+sin2α

1+tanα

的值．

Answer 1

分析：（1））由|

AC

|=|

BC

|，得cosα-sinα=0，即tanα=1，根据角α的范围可求得α值；
（2）由

AC

•

BC

=0得sinα+cosα=

1

2

，把

2sin2α+sin2α

1+tanα

化为角α弦函数可求；

解答：解：（1）

AC

=(cosα-2，sinα)，

BC

=(cosα，sinα-2)，
∵|

AC

|=|

BC

|，
∴

(cosα-2)2+sin2α

=

cos2α+(sinα-2)2

，化简得cosα-sinα=0，
∴tanα=1，又α∈（-π，0），α=-

3

4

π；
（2）由（1）可知

AC

•

BC

=cos²α+sin²α-2cosα-2sinα=0，
∴sinα+cosα=

1

2

，两边平方得sin2α+cos2α+2sinαcosα=

1

4

，即2sinαcosα=-

3

4

，
∴

2sin2α+sin2α

1+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

1+ sinα cosα

=2sinαcosα=-

3

4

．

点评：本题考查三角函数的恒等变换、平面向量数量积的运算，属中档题．