Question

【题目】设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；

当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；

当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina

当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增

当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减

当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

（2）

解：由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤ ．

令g（x）=sinx﹣ （0≤x ），则g′（x）=cosx﹣

当x 时，g′（x）＞0，当 时，g′（x）＜0

∵ ，∴g（x）≥0，即 （0≤x ），

当a≤ 时，有

①当0≤x 时， ，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；

②当 时， =1+ ≤1+sinx

综上，a≤ ．

【解析】（1）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤ ，构造函数g（x）=sinx﹣ （0≤x ），可得g（x）≥0（0≤x ），再考虑：①0≤x ；② ，即可得到结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．