Question

已知函数f（x）=x³+3ax²+3x+1．
（I）求；
（II）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=-，或x=-，判断函数在区间（-∞，-），（-，-），（-，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．
解答：解：（I）当a=时，f（x）=x³+3x²+3x+1，
f′（x）=3x²+6x+3，令f′（x）=0，可得x=-，或x=-，
当x∈（-∞，-）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（-，-）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（-，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，
f′（x）=3（x²+2ax+1）≥3（）=3（x-）（x-2）＞0，
所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，
综上可得，a的取值范围是[，+∞）
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．