Question

已知等比数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n．a₁=2，S₃=14．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a_n}的公比是q，依题意 q＞0．                 
由S₃=14，得 a1(1+q+q2)=14，整理得 q²+q-6=0．                                             
解得 q=2，舍去q=-3．                                      
所以数列{a_n}的通项公式为an=a1•qn-1=2n．                        
（Ⅱ）由bn=n•an=n•2n，
得 Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
所以 2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1．                      
两式相减，得Tn=-(2+22+23+…+2n)+n•2n+1=-

2(1-2n)

1-2

+n•2n+1，
所以Tn=(n-1)2n+1+2．