Question

【题目】(2017·太原市模拟题)已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a＝2bcosB，b≠c.

(1)证明：A＝2B；

(2)若a2＋c2＝b2＋2acsinC，求A.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）由，及，可得，根据正弦函数的性质结合三角形内角和定理，即可证明成立；（2）由，根据余弦定理得，由此可得或，再根据正弦、余弦函数的性质，可求得.

试题解析：(1)∵a＝2bcosB，且，∴sinA＝2sinBcosB＝sin2B，

∵0<A<π，0<B<π，∴sinA＝sin2B>0，∴0<2B<π，

∴A＝2B或A＋2B＝π.

若A＋2B＝π，则B＝C，b＝c，这与“b≠c”矛盾，∴A＋2B≠π，

∴A＝2B.

(2)∵a2＋c2＝b2＋2acsinC，∴＝sinC，

由余弦定理得cosB＝sinC，

∵0<B<π，0<C<π，∴C＝－B或C＝＋B.

①当C＝－B时，由A＝2B且A＋B＋C＝π，得A＝，B＝C＝，这与“b≠c”矛看，∴A≠；

②当C＝＋B时，由A＝2B且A＋B＋C＝A＋2B＋＝2A＋＝π，得A＝，B＝，C＝，

∴A＝.