Question

已知椭圆+=1的左右焦点分别为F₁与F₂，点P在直线l：x-y+8+2=0上．当∠F₁PF₂取最大值时，的比值为    ．

Answer 1

【答案】分析：先根据椭圆+=1的方程得出其左右焦点分别为F₁（-2，0）、与F₂（2，0）．如图，根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂的圆与直线l 相切，求出圆心坐标，再利用相似三角形的知识得出，最后利用相似比即可求出答案．
解答：解：椭圆+=1的左右焦点分别为F₁（-2，0）、与F₂（2，0）．
如图，根据平面几何知识知，当∠F₁PF₂取最大值时，经过F₁与F₂，的圆与直线l 相切，此时圆心在y轴上，坐标为A（0，2），
在直线l：x-y+8+2=0中令y=0得B的坐标：
B（-8-2，0），
在三角形BPF₁和三角形BF₂P中，∠BPF₁=∠BF₂P，
∴△BPF₁∽△BF₂P，
∴==-1．
故答案为：-1．
点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的关系、直线与圆的位置关系、圆的切线等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．