Question

设G，Q分别为△ABC的重心和外心，A（0，-1），B（0，1），且GQ∥AB．
（I）求点C的轨迹E的方程；
（II）若l是过点P（1，0）且垂直于x轴的直线，是否存在直线l，使得l与曲线E交于两个不同的点M，N，且MN恰被l平分？若存在，求出l的斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设C（x，y），由重心坐标公式的到G的坐标，再由GQ∥AB及Q在x轴上得到Q的坐标，又由|QB|=|QC建立方程．
（II）假设存在直线l：y=kx+m，代入迹E的方程，利用判别式大于0，及交点的中点横坐标为1，解出斜率的范围．
解答：解：（I）设C（x，y），则，因为GQ∥AB，可得；又由|QB|=|QC|，
可得点C的轨迹E的方程为．（6分）（没有x≠0扣1分）
（II）假设存在直线l：y=kx+m，代入
并整理得（1+3k²）x²+6mkx+3（m²-1）=0，（8分）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则（*）（10分）
又△=36m²k²-12（1+3k²）（m²-1）
==，
解得或（13分）
特别地，若m=±1，代入（*）得，3k²±3k+1=0，此方程无解，即x≠0．
综上，l的斜率的取值范围是或．（14分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，直线和圆锥曲线的位置关系．