Question

二项式(x3-

1

2x2

)n的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为

5

．

Answer 1

分析：由二项式系数的性质，可得二项式(x3-

1

2x2

)n的通项为T_r+1=C_n^r（x³）^n-r（-

1

2x2

）^r，进一步可将其变形为C_n^r（-

1

2

）^r（x）^3n-5r，若展开式中有非零常数项，则有3n-5r=0，结合n为正整数，易得答案．

解答：解：由二项式系数的性质，可得其通项为T_r+1=C_n^r（x³）^n-r（-

1

2x2

）^r=C_n^r（-

1

2

）^r（x）^3n-5r，
根据题意，其展开式中有非零常数项，则有3n-5r=0，
即3n为5的整数倍，且n为正整数；
故n的最小值为5，
故答案为5．

点评：本题考查二项式系数的性质，解题的关键要牢记二项式的通项．