Question

两直线分别绕着定点A和B(|AB|=2a)在平面内转动且转动时保持相互垂直,求两直线的交点P的轨迹方程.

Answer 1

错解:取直线AB为x轴,取线段AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A(-a,0)、B(a,0),交点P属于集合C={P|PA⊥PB}={P|k_PA·k_PB=-1}.设P(x,y),则k_PA=(x≠-a),k_PB=(x≠a),故·=-1,即x²+y²=a²(x≠±a).

剖析:要知道,当PA⊥x轴且另一直线与x轴重合时,仍有两直线互相垂直,此时两直线交点为A.同样,PB⊥x轴,且另一直线与x轴重合时,此时两直线交点为B.因而,A(-a,0)与B(a,0)应为所求方程的解.上述解答中漏掉了斜率不存在而另一条直线的斜率为零的情况也满足要求,故错.

正解:取直线AB为x轴,取线段AB的中点O为原点建立直角坐标系,则A(-a,0)、B(a,0),P属于集合C={P||PA|²+|PB|²=|AB|²}.设P(x,y),则(x+a)²+y²+(x-a)²+y²=(2a)²,化简得x²+y²=a².

这就是两直线的交点P的轨迹方程.