题目内容
（2012•芜湖三模）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面BEC1；
（Ⅱ）若，AB=2，AA1=
| 2 |
（Ⅲ）当
| A1A |
| AB |
| ||
| 5 |
分析：（Ⅰ）连接B1C交BC1于点F，连接EF，则F为B1C的中点，根据E是AC中点，可得EF∥AB1，从而可证AB1∥平面BEC1；
（Ⅱ）由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离，过点C作CH⊥C1E于点H，则可证CH⊥平面BEC1，故CH为点C到平面BEC1的距离，由等面积可得结论；
（Ⅲ）过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角，求出CH、CG，利用二面角E-BC1-C的正弦值为
，即可求得结论．
（Ⅱ）由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离，过点C作CH⊥C1E于点H，则可证CH⊥平面BEC1，故CH为点C到平面BEC1的距离，由等面积可得结论；
（Ⅲ）过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角，求出CH、CG，利用二面角E-BC1-C的正弦值为
| ||
| 5 |
解答：（Ⅰ）证明：连接B1C交BC1于点F，连接EF，则F为B1C的中点
∵E是AC中点，∴EF∥AB1，
∵AB1?平面BEC1，EF?平面BEC1，
∴AB1∥平面BEC1；
（Ⅱ）解：由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1，
过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，∴CH为点C到平面BEC1的距离
在直角△CEC1中，CE=1，CC1=
，C1E=
，∴由等面积可得CH=
∴点A到平面BEC1的距离为
；
（Ⅲ）解：过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角
当AA1=2a，AB=b时，CH=
∵CG=
∴在直角△CGH中，sin∠CGH=
=
=
∴b=2a
∴
=
=1
∴
=1时，二面角E-BC1-C的正弦值为
．
∵E是AC中点，∴EF∥AB1，
∵AB1?平面BEC1，EF?平面BEC1，
∴AB1∥平面BEC1；
（Ⅱ）解：由题意知，点A到平面BEC1的距离即点C到平面BEC1的距离
∵ABC-A1B1C1是正三棱柱
∴BE⊥平面ACC1A1，
∵BE?平面BEC1，
∴平面BEC1⊥平面ACC1A1，
过点C作CH⊥C1E于点H，则CH⊥平面BEC1，∴CH为点C到平面BEC1的距离
在直角△CEC1中，CE=1，CC1=
| 2 |
| 3 |
| ||
| 3 |
∴点A到平面BEC1的距离为
| ||
| 3 |
（Ⅲ）解：过H作HG⊥BC1于G，连接CG，由三垂线定理得CG⊥BC1，故∠CGH为二面角E-BC1-C的平面角
当AA1=2a，AB=b时，CH=
| ab | ||
|
∵CG=
| 2ab | ||
|
∴在直角△CGH中，sin∠CGH=
| CH |
| CG |
| ||
2
|
| ||
| 5 |
∴b=2a
∴
| A1A |
| AB |
| 2a |
| b |
∴
| A1A |
| AB |
| ||
| 5 |
点评：本题考查线面平行，考查点到面的距离，考查面面角，解题的关键是掌握线面平行的判定，正确作出表示点面距离的线段，正确作出面面角，属于中档题．
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