Question

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（2）求证：EF⊥B₁C；
（3）求三棱锥VB1-EFC的体积．

Answer 1

分析：（1）欲证EF∥平面ABC₁D₁，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC₁D₁内一直线平行，连接BD₁，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，根据中位线定理可知EF∥D₁B，满足定理所需条件；
（2）先根据线面垂直的判定定理证出B₁C⊥平面ABC₁D₁，而BD₁?平面ABC₁D₁，根据线面垂直的性质可知B₁C⊥BD₁，而EF∥BD₁，根据平行的性质可得结论；
（3）可先证CF⊥平面EFB₁，根据勾股定理可知∠EFB₁=90°，根据等体积法可知VB1-EFC=V _C-B1EF，即可求出所求．

解答：解：（1）证明：连接BD₁，如图，在△DD₁B中，E、F分别为D₁D，DB的中点，则

EF∥D1B D1B?平面ABC1D1 EF?平面ABC1D1

?EF∥平面ABC₁D₁．
（2）

B1C⊥AB B1C⊥BC1 AB，B1C?平面ABC1D1 AB∩BC1=B

?

B1C⊥平面ABC1D1 BD1?平面ABC1D1

?

B1C⊥BD1 EF∥BD1

?EF⊥B1C
（3）∵CF⊥平面BDD₁B₁，∴CF⊥平面EFB₁且CF=BF=

2

，
∵EF=

1

2

BD1=

3

，B1F=

BF2+BB12

=

( 2 )2+22

=

6

，
B1E=

B1D12+D1E2

=

12+(2 2 )2

=3
∴EF²+B₁F²=B₁E²即∠EFB₁=90°，
∴VB1-EFC=VC-B1EF=

1

3

•S△B1EF•CF
=

1

3

×

1

2

•EF•B1F•CF=

1

3

×

1

2

×

3

×

6

×

2

=1

点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想，属于中档题．