题目内容
已知命题p：?x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|；命题q：?x，y∈R+且x+y=1，有xyk≤x+4y．若p∧q为真，则实数k的取值范围是（ ）
分析：本题考查复合命题，解决的方法是：将k+|x-2|≥|x-1|和xyk≤x+4y分别变形后求出k的取值范围，最后求交集．
解答：解：命题p：?x∈R，使得k+|x-2|≥|x-1|成立，
∴有：?x∈R，k≥|x-1|-|x-2|成立，
∴只须：k大于等于（|x-1|-|x-2|）的最小值即可，
而由绝对值的几何意义可知|x-1|-|x-2|表示数轴上的点到1和2的距离之差，
由上图分析得：当实数x在数轴上移动时有：-1≤|x-1|-|x-2|≤1，
即：k≥-1．
命题q：?x，y∈R+且x+y=1，有xyk≤x+4y，
∴有：k≤
对?x，y∈R+且满足x+y=1的实数x、y成立，
∴只须：k小于等于
的最小值即可，
而
=
+
=
+
=
+
=
+1+4+
=5+
+
≥5+ 2
= 9，
即：k≤9．
又∵p∧q为真，
∴命题p和命题q均为真命题，
∴应有
，解得：-1≤k≤9，即：[-1，9]．
故选A．
∴有：?x∈R，k≥|x-1|-|x-2|成立，
∴只须：k大于等于（|x-1|-|x-2|）的最小值即可，
而由绝对值的几何意义可知|x-1|-|x-2|表示数轴上的点到1和2的距离之差，
由上图分析得：当实数x在数轴上移动时有：-1≤|x-1|-|x-2|≤1，
即：k≥-1．
命题q：?x，y∈R+且x+y=1，有xyk≤x+4y，
∴有：k≤
| x+4y |
| xy |
∴只须：k小于等于
| x+4y |
| xy |
而
| x+4y |
| xy |
| x |
| xy |
| 4y |
| xy |
| 1 |
| y |
| 4 |
| x |
| x+y |
| y |
| 4(x+y) |
| x |
| x |
| y |
| 4y |
| x |
| x |
| y |
| 4y |
| x |
|
即：k≤9．
又∵p∧q为真，
∴命题p和命题q均为真命题，
∴应有
|
故选A．
点评：本题以复合命题的真假为载体，主要考查绝对值的几何意义及不等式求函数的最值的掌握情况，要做到熟练掌握．
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