题目内容
（2013•北京）设l为曲线C：y=
在点（1，0）处的切线．
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
| lnx | x |
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．
分析：（I）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解
（II）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．
（II）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．
解答：解：（I）∵y=
∴y′=
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程为y=x-1
证明：（II）令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
则f′（x）=2x-1-
=
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即
＜x-1
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即
＜x-1
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方
| lnx |
| x |
∴y′=
| 1-lnx |
| x2 |
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程为y=x-1
证明：（II）令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
则f′（x）=2x-1-
| 1 |
| x |
| (2x+1)(x-1) |
| x |
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即
| lnx |
| x |
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即
| lnx |
| x |
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方
点评：本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．
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