Question

（2012•辽宁模拟）函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）在R上的导函数f′（x）＞

1

2

，则不等式f（x）＜

x+1

2

的解集为

（-∞，1）．

．

Answer 1

分析：由f'（x）＞

1

2

，f（x）＜

x+1

2

可抽象出一个新函数g（x），利用新函数的性质（单调性）解决问题，即可得到答案．

解答：解：设g（x）=f（x）-

x+1

2

，
因为f（1）=1，f'（x）＞

1

2

，
所以g（1）=f（1）-1=0，g′（x）=f′（x）-

1

2

＞0，
所以g（x）在R上是增函数，且g（1）=0．
所以f（x）＜

x+1

2

的解集即是g（x）＜0=g（1）的解集．
∴x＜1．
故答案为：（-∞，1）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，解决此类问题的关键是构造函数g（x）=f（x）-

x+1

2

，，然后利用导数研究g（x）的单调性，从而解决问题，属于中档题．