Question

8．已知焦点在x 轴上的椭圆C：mx²+ny²=1过点P（0，1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，A、B是椭圆上两个动点，且直线PA，PB的斜率满足k_PAk_PB=$\frac{2}{3}$，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求三角形PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用焦点在x轴上的椭圆C：mx²+ny²=1过点P（0，1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，建立方程，求出m，n，即可求椭圆的标准方程；
（2）设直线PA：y=kx+1，代入椭圆方程可得A的坐标，由直线PB的方程为y=$\frac{2}{3k}$x+1，可得B的坐标，运用点到直线的距离公式和三角形的面积公式，可得S关于k的式子，运用基本不等式，即可求得最大值．

解答 解：（1）∵焦点在x轴上的椭圆C：mx²+ny²=1过点P（0，1），离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴n=1，$\frac{\frac{1}{m}-\frac{1}{n}}{\frac{1}{m}}$=（$\frac{\sqrt{6}}{3}$）²，
∴m=$\frac{1}{3}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1$；
（2）设直线PA：y=kx+1，代入椭圆方程可得，（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，
可得A（-$\frac{6k}{1+3{k}^{2}}$，$\frac{1-3{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$），
由斜率k_PA•k_PB=$\frac{2}{3}$，
直线PB的方程为y=$\frac{2}{3k}$x+1，代入椭圆方程，可得交点B为（-$\frac{12k}{4+3{k}^{2}}$，$\frac{3{k}^{2}-4}{3{k}^{2}+4}$），
则△PAB的面积为S=$\frac{1}{2}$|PA|•d（d为B到直线PA的距离）=$\frac{12|2k-3{k}^{3}|}{（3{k}^{2}+1）（3{k}^{2}+4）}$，
可令k＞0，上式分子分母同除以k²，
可得S=$\frac{12|3k-\frac{2}{k}|}{9{k}^{2}+\frac{4}{{k}^{2}}+15}$，
再令|3k-$\frac{2}{k}$|=t，
即有S=$\frac{12t}{{t}^{2}+27}$=$\frac{12}{t+\frac{27}{t}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
当且仅当t=$\frac{27}{t}$即t=3$\sqrt{3}$，可得k=$\frac{3\sqrt{3}+\sqrt{51}}{6}$，△PAB面积取得最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程求交点，同时考查三角形面积公式和点到直线的距离和基本不等式的运用，属于中档题．