Question

已知：f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意a、b∈R，满足：f（a•b）=af（b）+bf（a），且f(2)=2，an=

f(2-n)

n

，则数列{a_n}的通项公式a_n=

-

1

2n

．

Answer 1

分析：令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n），设A_n=f（2^-n），可得A_n-1=2^-n-1+2A_n，从而可知数列{

An

2-n

}是以-1为，-1为首项的等差数列，故可求数列{A_n}的通项公式，从而得出数列{a_n}的通项公式．

解答：解：令a=1，b=1，得f（1）=f（1）+f（1），∴f（1）=0，
令a=2，b=

1

2

，得f（1）=2f（

1

2

）+

1

2

f（2），且f（2）=2，∴f（

1

2

）=-

1

2

，
令a=2^-n，b=2，得f（2^-n+1）=2^-nf（2）+2f（2^-n）
设A_n=f（2^-n）
∴A_n-1=2^-n-1+2A_n，
∴

An-1

2-(n-1)

=1+

An

2-n

，即

An

2-n

-

An-1

2-(n-1)

=-1，且

A1

2-1

=

f( 1 2 )

1 2

=-1
即数列{

An

2-n

}是以-1为，-1为首项的等差数列
∴

An

2-n

=-n，
∴A_n=-n•2^-n
∴an=-

1

2n

．
故答案为：-

1

2n

．

点评：本题考查数列的函数特性、等差数列的定义，涉及抽象函数的应用，属中档题．