Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f(1)=0，

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，则不等式x²f（x）＞0的解集是

 

．

Answer 1

分析：当x＞0时，根据已知条件中

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，我们不难判断函数f（x）的导函数f'（x）的符号，由此不难求出函数的单调性，再由函数f（x）是定义在R上的奇函数，及f（1）=0，我们可以给出各个区间f（x）的符号，由此不难给出不等式x²f（x）＞0的解集．

解答：解：由

xf′(x)-f(x)

x2

＞0(x＞0)，即[

f(x)

x

]′＞0；
则

f(x)

x

在（0，+∞）为增函数，且当x=1时，有

f(1)

1

=f（1）=0；
故函数

f(x)

x

在（0，1）有

f(x)

x

＜0，又有x＞0，则此时f（x）＜0，
同理，函数

f(x)

x

在（1，+∞）有

f(x)

x

＞0，又有x＞0，则此时f（x）＞0，
故又由函数f（x）是定义在R上的奇函数
∴当x∈（-∞，-1）时，f（x）＜0
当x∈（-1，0）时，f（x）＞0；
而x²f（x）＞0?f（x）＞0，
故不等式x²f（x）＞0的解集为：（-1，0）∪（1，+∞）
故答案为：（-1，0）∪（1，+∞）

点评：本题考查的知识是函数的单调性和函数的奇偶性，这两个函数综合应用时，要注意：奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反．