Question

已知在（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展开式中，第6项为常数项．
（1）求n； 
（2）求含x²项的系数； 
（3）求展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析：（1）由二项式定理，可得（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展开式的通项，又由题意，可得当r=5时，x的指数为0，即

n-2r

3

=0，解可得n的值，
（2）由（1）可得，其通项为T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，令x的指数为2，可得

10-2r

3

=2，解可得r的值，将其代入通项即可得答案；
（3）由（1）可得，其通项为T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，令x的指数为整数，可得当r=2，5，8时，是有理项，代入通项可得答案．

解答：解：（1）根据题意，可得（

3	x

-

1

2 3 x

）ⁿ的展开式的通项为Tr+1=

C

r n

(x

1

3

)n-r(-

1

2

x-

1

3

)r=(-

1

2

)r

C

r n

x

n-2r

3

，
又由第6项为常数项，则当r=5时，

n-2r

3

=0，
即

n-10

3

=0，解可得n=10，
（2）由（1）可得，T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，
令

10-2r

3

=2，可得r=2，
所以含x²项的系数为(-

1

2

)2

C

2 10

=

45

4

，
（3）由（1）可得，T_r+1=（-

1

2

）^rC₁₀^rx

10-2r

3

，
若T_r+1为有理项，则有

10-2r

3

∈Z，且0≤r≤10，
分析可得当r=2，5，8时，

10-2r

3

为整数，
则展开式中的有理项分别为

45

4

x2，-

63

8

，

45

256

x-2．

点评：本题考查二项式定理的应用，解题时要区分有理项与常数项，关键是根据二项式定理，写出其展开式的通项．