Question

已知函数f（x）=ax³-x²+ln（x+1）（a∈R），在x=1处的切线与直线3x-2y+5=0平行．
（1）当x∈[0，+∞）时，求f（x）的最小值；
（2）求证：

1

23

+

2

33

+

3

43

+…+

n-1

n3

＜ln（n+1）（n≥2且n∈N）．

Answer 1

分析：（1）先利用导数的四则运算计算函数f（x）的导函数f′（x），再利用导数的几何意义求得a的值，最后证明函数当x∈[0，+∞）时的单调性，利用单调性求函数最值；（2）利用（1）中的结论，即f（x）在[0，+∞）上恒大于或等于零，结合所证不等式的形式，只需设x=

1

n

，即可构造两个具有不等关系的数列，分别求和即可证明所证不等式

解答：解：（1）由已知f′（x）=3ax²-2x+

1

x+1

∵函数f（x）在x=1处的切线与直线3x-2y+5=0平行
∴f′（1）=3a-2+

1

2

=

3

2

∴a=1
∴f（x）=x³-x²+ln（x+1），f′（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

＞0  （x≥0）
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴[f（x）]_min=f（0）=0
（2）令x=

1

n

．（n∈N^*） 则：f（

1

n

）＞0
∴

1

n3

-

1

n2

+ln（1+

1

n

）＞0
即：

n-1

n3

＜ln（1+

1

n

）
∴

1

23

＜ln（1+

1

2

），

2

33

＜ln(1+

1

3

)，…，

n-1

n3

＜ln（1+

1

n

）
∴

1

23

+

2

33

+…+

n-1

n3

＜ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

3

）+…+ln（1+

1

n

）=ln（

3

2

•

4

3

…

n+1

n

）=ln

n+1

2

＜ln（n+1）
∴不等式成立．

点评：本题综合考查了函数与数列的应用，导数的几何意义，利用导数证明函数的单调性进而求函数最值得方法，利用函数不等式证明数列不等式的方法．