题目内容

设函数f（x）=m- $数学公式$ ，若存在实数a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则实数m的取值范围是

A.
（- $数学公式$ ]
B.
[-2，- $数学公式$ ）
C.
[-3，- $数学公式$ ）
D.
[- $数学公式$ ]

A
分析：由题意可知函数为减函数，f（a）=m- $\text{[math]}$ =b，f（b）=m- $\text{[math]}$ =a，由两式可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，2m=a+b+1，换元可得p= $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$ ，故有p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，由二次函数区间的最值可得答案．
解答：由x+3≥0可得x≥-3，又由复合函数的单调性可知函数为减函数，
故有f（a）=m- $\text{[math]}$ =b，f（b）=m- $\text{[math]}$ =a，
两式相减可得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =a-b，即 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =（a+3）-（b+3），
即 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，两式相加可得2m=a+b+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =a+b+1，
记p= $\text{[math]}$ ，q= $\text{[math]}$ ，故有p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，
代入可得m= $\text{[math]}$ =p²-p-2= $\text{[math]}$ ，
又因为p+q=1且pq均为非负数，故0≤p≤1，由二次函数的值域可得：
当p= $\text{[math]}$ 时，q= $\text{[math]}$ ，与a＜b矛盾，m取不到最小值 $\text{[math]}$ ，当p=0或1时，m取最大值-2，
故m的范围是（ $\text{[math]}$ ，-2]，
故选A
点评：本题考查函数的定义域和值域的求解，涉及换元法的应用和二次函数区间的最值，属中档题．