题目内容
设函数f(x)=m-
(x∈R):
(1)判断并证明函数f(x)的单调性
(2)是否存在实数m使函数f(x)为奇函数?
1 | 3x+1 |
(1)判断并证明函数f(x)的单调性
(2)是否存在实数m使函数f(x)为奇函数?
分析:(1)利用函数单调性的定义进行证明.
(2)利用函数奇偶性的定义进行判断.
(2)利用函数奇偶性的定义进行判断.
解答:解:(1)函数f(x)在R上为增函数.
证明:在R上任意设两个实数x1,x2,不妨设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
-
=
,
∵x1<x2,
∴3x1-3x20,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在R上为增函数.
(2)若函数f(x)为奇函数,则有f(0)=0,
即f(0)=m-
=0,
解得m=
.
此时f(x)=
-
.
∴存在实数m=
使函数f(x)为奇函数
证明:在R上任意设两个实数x1,x2,不妨设x1<x2,
则f(x1)-f(x2)=
1 |
3x2+1 |
1 |
3x1+1 |
3x1-3x2 |
(3x1+1)(3x2+1) |
∵x1<x2,
∴3x1-3x20,
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在R上为增函数.
(2)若函数f(x)为奇函数,则有f(0)=0,
即f(0)=m-
1 |
2 |
解得m=
1 |
2 |
此时f(x)=
1 |
2 |
1 |
3x+1 |
∴存在实数m=
1 |
2 |
点评:本题主要考查函数单调性的证明,以及函数奇偶性的应用,要求熟练掌握函数单调性的定义以及函数奇偶性的性质.

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