题目内容

设函数f(x)=m-
13x+1
(x∈R):
(1)判断并证明函数f(x)的单调性
(2)是否存在实数m使函数f(x)为奇函数?
分析:(1)利用函数单调性的定义进行证明.
(2)利用函数奇偶性的定义进行判断.
解答:解:(1)函数f(x)在R上为增函数.
证明:在R上任意设两个实数x1,x2,不妨设x1<x2
f(x1)-f(x2)=
1
3x2+1
-
1
3x1+1
=
3x1-3x2
(3x1+1)(3x2+1)

∵x1<x2
3x1-3x20
∴f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2),
∴函数f(x)在R上为增函数.
(2)若函数f(x)为奇函数,则有f(0)=0,
即f(0)=m-
1
2
=0

解得m=
1
2

此时f(x)=
1
2
-
1
3x+1

∴存在实数m=
1
2
使函数f(x)为奇函数
点评:本题主要考查函数单调性的证明,以及函数奇偶性的应用,要求熟练掌握函数单调性的定义以及函数奇偶性的性质.
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