Question

已知椭圆C:=1(a＞b＞0)的长轴端点为A、B，若椭圆C上存在点Q，使∠AQB=120°，求椭圆C的离心率e的取值范围.

Answer 1

思路分析：由题意Q（x,y），使∠AQB=120°成立，且-a≤x≤a,-b≤y≤b，若x、y用a、b、c表示，则出现了a、b、c的不等关系，从而求e的范围.

解：A（-a,0）、B（a,0），设Q(x,y).由椭圆的对称性，不妨设Q点在x轴的上方，即y＞0，∴k_AQ=,k_BQ=.由tan∠AQB=tan120°=-,依到角公式得

=-,即(x²+y²-a²)=-2ay.     ①

又Q在椭圆C上，

故=1.                            ②

由①②消去x,得(b²-a²)y²+2ab²y=0,而y≠0,

∴y=.

又y≤b,

∴≤b,即≤1.

∴4a²b²≤3c⁴,即4a²(a²-c²)≤3c⁴.

∴3e⁴+4e²-4≥0,解得e²≥.

∴≤e＜1.

温馨提示

    这里借助于x、y与a、b、c的关系，表示出关于a、b、c的一个不等关系式是关键所在，在求离心率范围的问题中常用这种思路.