Question

将边长为2的正方形沿对角线AC折起，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积最大值等于________．

Answer 1

分析：如图所示，设正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，点D折叠后的位置为D'，连接BD'、OD'．利用线面垂直的判定，证出AC⊥平面B'DO，从而得到三棱锥的体积为V_D'-ABC=V_A-BOD'+V_C-BOD'=S_△BOD'×AC．因为AC=2是定值，所以当S_△BOD'达到最大值时所求的体积最大．最后根据正弦定理面积公式和正弦函数的最值，可得所求三棱锥的体积最大值等于．
解答：解：如图所示，设正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，
点D折叠后的位置为D'，连接BD'，OD'
∵AC⊥BO，AC⊥BO'，BO∩D'O=0
∴AC⊥平面B'DO
因此，三棱锥的体积为
V_D'-ABC=V_A-BOD'+V_C-BOD'
=S_△BOD'×AO+S_△BOD'×CO=S_△BOD'×AC
∵正方形的边长为2，可得AC=2
∴当S_△BOD'最大时，V_D'-ABC达到最大值．
∵S_△BOD'=×=sin∠BOD′
∴当∠BOD'=90°时，S_△BOD'的最大值为1，从而得到V_D'-ABC的最大值为AC=
故答案为：
点评：本题给出正方形的翻折问题，求折叠后形成的三棱锥的体积最大值，着重考查了线面垂直的判定与性质、正方形的性质和面积正弦定理公式等知识，属于基础题．