Question

若将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折成一个直二面角，且EA⊥平面ABD，AE=a（如图）．
（Ⅰ）若a=2

2

，求证：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求实数a的值，使得二面角A-EC-D的大小为60°．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，确定平面CDE的一个法向量

n1

=(0，2，

2

)，利用数量积为0，即可证得AB∥平面CDE；  
（Ⅱ）确定平面CDE的一个法向量

n2

=(a-2

2

，a，2)，平面AEC的一个法向量为

n3

=(-1，1，0)，利用二面角A-EC-D的大小为60°，结合向量的夹角公式，即可求求实数a的值．

解答：（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系，则
A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，

2

），D（0，2，0），E（0，0，2

2

），
∴

AB

=(2，0，0)，

DE

=(0，-2，2

2

)，

DC

=(1，-1，

2

)（2分）
设平面CDE的一个法向量为

n1

=(x，y，z)，
则有-2y+2

2

z=0，x-y+

2

z=0，
取z=

2

时，

n1

=(0，2，

2

)（4分）
∴

AB

•

n1

=0，又AB不在平面CDE内，所以AB∥平面CDE；    （7分）
（Ⅱ）解：如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（1，1，

2

），D（0，2，0），E（0，0，a），∴

DE

=(0，-2，a)，

DC

=(1，-1，

2

)，
设平面CDE的一个法向量为

n2

=(x，y，z)，则有-2y+az=0，x-y+

2

z=0，
取z=2时，

n2

=(a-2

2

，a，2)（9分）
又平面AEC的一个法向量为

n3

=(-1，1，0)，（10分）
∵二面角A-EC-D的大小为60°，∴

n2 • n3

| n2 || n3 |

=

1

2

，
即a2-2

x

a-2=0，解得a=

2

±2（13分）
又a＞0，所以a=

2

+2．        （14分）

点评：本题考查线面平行，考查面面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键，属于中档题．