Question

已知a＞0，且a≠1，f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）．
（1）求f（x）；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）求f（x²-3x+2）＜0的解集．

Answer 1

分析：（1）用换元法，令t=log_ax （t∈R），则x=a^t，可得f（t）的关系式，进而可得答案；
（2）令g（x）=a^x-a^-x，分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论g（x）的单调性与

a

a2-1

的符号，由函数单调性的性质，可得答案；
（3）分析可得，f（0）=0，结合函数的单调性，可将f（x²-3x+2）＜0转化为x²-3x+2＜0，解可得答案．

解答：解：（1）令t=log_ax （t∈R），则x=a^t，
且f（t）=

a

a2-1

（a^t-a^-t）．
∴f（x）=

a

a2-1

（a^x-a^-x） （x∈R）．
（2）令g（x）=a^x-a^-x
当a＞1时，g（x）=a^x-a^-x为增函数，
又

a

a2-1

＞0，
∴f（x）为增函数；
当0＜a＜1时，g（x）=a^x-a^-x为减函数，
又

a

a2-1

＜0，
∴f（x）为增函数．
∴综上讨论知，函数f（x）在R上为增函数．
（3）∵f（0）=

a

a2-1

（a⁰-a⁰）=0
∴f（x²-3x+2）＜0=f（0）．
由（2）知：x²-3x+2＜0
解得1＜x＜2
∴不等式的解集为{x|1＜x＜2}．

点评：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，首先要利用换元法求出函数的解析式，也是本题的关键所在．