Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M是BC的中点，点N在侧棱CC₁上．
（1）当线段CN的长度为多少时，NM⊥AB₁；
（2）若MN⊥AB₁，求异面直线B₁N与AB所成的角的正切值；
（3）若MN⊥AB₁，求二面角A-B₁N-M的大小
（4）若MN⊥AB₁，求点M到平面AB₁N的距离．

Answer 1

分析：（1）先根据条件得到MN⊥面AB₁M，再结合B₁C₁²+NC₁²=B₁M²+NM²即可求出结论．
（2）AB平行于A₁B₁，∠A₁BN就是异面直线所成的角，转化为求∠A₁BN
（3）作ME⊥B₁N，交B₁N于E可得∠AEM为二面角A--B₁N-M的平面角；计算出tan∠AEM即可．
（4）作MH⊥AE于H，根据条件得到MH的长即为点M到平面AB₁N的距离，然后在直角三角形AME中，求出MH即可．

解答：解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2，AB=AC=1，∠BAC=90°，点M为BC中点，
∴AM⊥BC，AM⊥面BCC₁B₁
∴AM⊥MN，NM⊥AB₁；AM∩AB₁=A
所以MN⊥AB₁M
BC=B₁C₁=

2

，
设CN=x，则NC₁=2-x
B₁C₁²+NC₁²=B₁M²+NM²
2+（2-x）²=2²+(

1

2

)2+(

1

2

)2+x²，
解得x=

1

4

．
（2）∵AB∥A₁B₁
∴异面直线B₁N与AB所成的角为∠A₁BN
∵面ABB₁A₁⊥面ACC₁A₁，
∴B₁A₁⊥面ACC₁A₁，B₁A₁⊥A₁N
A₁N=

A1C1 2+C1N2

=

1+( 7 4 )2

=

65

4

．
∴tan∠A₁BN=

A1N

A1B1

=

65

4

．
（3）连接AM，M为BC中点，∴AM⊥BC，AM⊥面BCC₁B₁
作ME⊥B₁N，交B₁N于E，连接AE，∴AE⊥B₁N （三垂线定理）
∴∠AEM为二面角A--B₁N-M的平面角
B1N2=2²+

1

2

+(

1

4

)2=

81

16

⇒B₁N=

9

4

．
NM²=

1

2

+(

1

4

)2
设EN=x，∵△B₁NM为直角三角形，∴NM²=x•B₁N
即

9

16

=

9x

4

⇒x=

1

4

．
ME=

MN2-EN2

=

2

2

AM=

2

2

，
∴tan∠AEM=

AM

EM

=1
∴二面角A-B₁N-M为45°．
（4）作MH⊥AE于H，①
由第三问得B₁N⊥平面AEM，所以B₁N⊥MH，②
AE∩B₁N=E    ③
结合①②③得：MH⊥平面AB₁N；
∴MH的长即为点M到平面AB₁N的距离
在直角三角形AME中，MH=MEsin∠AEM=MEsin45°=

2

2

×

2

2

=

1

2

．
即点M到平面AB₁N的距离为：

1

2

．

点评：本题主要考察二面角的平面角及求法以及异面直线及其所成的角和点到面的距离计算，是对立体几何知识的综合考察，难度较高，综合性强．