Question

已知函数f（x）=x²+（a-1）x+b，f（1）=1
（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；
（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x=1，解不等式f（x）＞5．

Answer 1

【答案】分析：（1）函数f（x）没有零点，即△=（a-1）²-4b＜0，又据f（1）=1，a+b=1，消去b得出关于a的不等式求解
（2）函数f（x）的图象的对称轴是x=1，求得a=-1，b=2，f（x）＞5即为x²-2x-3＞0．
解答：解：（1）由f（1）=1得1+a-1+b=1，a+b=1
若函数f（x）没有零点，则△=（a-1）²-4b＜0，又b=1-a，所以a²-2a+1-4（1-a）＜0，解得-3＜a＜1
（2）函数f（x）的图象的对称轴是x=1，即，a-1=-2，a=-1，b=2
f（x）=x²-2x+2＞5，即x²-2x-3＞0，解得x＜-1，或x＞3
所以不等式f（x）＞5的解集为{x|x＜-1，或x＞3}
点评：本题考查二次函数的图象与性质，二次不等式求解，体现了数形结合，转化的思想方法．