题目内容

若P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，则
AP
•(
AB
+
AC
)的值恒为
 
分析：画出图形，作出以向量
AP
为对角线的平行四边形，设出图中的比例关系，表示出向量
AP
，然后计算
AP
•(
AB
+
AC
)，注意两个比例系数之和为1，可求得数量积为定值．
解答：精英家教网解：如图P是边长为2的正三角形ABC边BC上的动点，
过P作EP∥AB，交AC于E，FP∥AC交AB于F，
设m=
AE
AC
，n=
AF
AB
，由于ABC是正三角形，
所以  m+n=1．
所以
AP
•(
AB
+
AC
)=(m
AB
+n 
AC
)•(
AB
+
AC
)
=m
AB
2+n
AC
2+(m+n)
AB
•
AC

=4m+4n+(m+n)×2×2×
1
2

=6（m+n）
=6．
故答案为：6．
点评：本题考查平面向量数量积的含义与物理意义，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．
练习册系列答案
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精英家教网如图，P-ABC是底面边长为1的正三棱锥，D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点，截面DEF∥底面ABC，且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等．（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）
（1）证明：P-ABC为正四面体；
（2）若PD=PA=
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求二面角D-BC-A的大小；（结果用反三角函数值表示）
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明；若不存在，请说明理由．

（04年上海卷）(16分)

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

(1)     证明：P-ABC为正四面体；

(2)     若PD=PA, 求二面角D-BC-A的大小；(结果用反三角函数值表示)

(3)     设棱台DEF-ABC的体积为V, 是否存在体积为V且各棱长均相等的直

平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和? 若存在,请具体构造

出这样的一个直平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

（本小题满分14分）

如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：P-ABC为正四面体；

（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。

（3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

 

 底面边长为2的正三棱锥P-ABC中，E是BC的中点，若△PAE的面积为，则侧棱PA与底面所成角的正切值是

A．1                B．               C．               D．

 

 底面边长为2的正三棱锥P-ABC中，E是BC的中点，若△PAE的面积为，则侧棱PA与底面所成角的正切值是

A．1                B．               C．               D．

 

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