Question

设数列{b_n}{P_n}满足b₁=3，b_n=3ⁿP_n，且P_n+1=P_n+（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若存在实数t，使得数列C_n=（b_n-）•+n成等差数列，记数列{C_n•（）^C_n}的前n项和为Tn，证明：3ⁿ•（T_n-1）＜b_n；
（3）设A_n=T_n，数列{A_n}的前n项和为S_n，求证S_n＜．

Answer 1

【答案】分析：（1）由P_n+1=P_n+（n∈N^*），利用叠加法得P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=，从而有，上述两式错位相减，可得，从而求得数列{b_n}的通项公式；
（2）由题意得，，再使用错位相减法求得，从而可以证明；
（3）将A_n=T_n，化简，再进行分组可得，进而分别求和，利用放缩法可以证得．
解答：解：（1）由已知得，
∴P_n=P₁+（P₂-P₁）+（P₃-P₂）+…+（P_n-P_n-1）=，
∴
上述两式错位相减得：
∴
（2）∵，
∴当且仅当t=0时，数列C_n成等差数列，此时C_n=n（n∈N⁺）
∴
∴
错位相减得：
∵
∴3ⁿ（T_n-1）＜b_n
（3）=
由可得
S_n=A₁+A₂+A₃+…+A_n
==
点评：本题主要考查叠加法求数列的通项，考查错位相减求数列的和，数列与不等式的综合，有一定难度．