Question

4．设（x²+4x+3）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_2nx²ⁿ（n∈N₊）
（1）求a₁+a₂+…+a_2n；
（2）设f（n）=a₁，g（n）=n（n+1）•2ⁿ，试比较f（n）与g（n）的大小，并证明你的结论．．

Answer 1

分析 （1）利用赋值法，求a₁+a₂+…+a_2n；
（2））含有a₁的项为${C}_{n}^{1}（4x）^{1}（{x}^{2}+3）^{n-1}$，a₁=4×${C}_{n}^{1}{3}^{n-1}$=4n×3^n-1，设h（n）=$\frac{f（n）}{g（n）}$=$\frac{n+1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，与1比较，即可得出结论．

解答 解：（1）令x=1，可得a₀+a₁+a₂+…+a_2n=8ⁿ，令x=0，可得a₀=3ⁿ，
∴a₁+a₂+…+a_2n=8ⁿ-3ⁿ；
（2）含有a₁的项为${C}_{n}^{1}（4x）^{1}（{x}^{2}+3）^{n-1}$，∴a₁=4×${C}_{n}^{1}{3}^{n-1}$=4n×3^n-1，
设h（n）=$\frac{f（n）}{g（n）}$=$\frac{n+1}{2}•（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
n=1，2时，h（n）=1，f（n）=g（n）；
n≥3时，h（n）＜1，f（n）＜g（n）．

点评 本题考查二项式中系数和问题，考查二项式定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．