Question

已知数列{a_n}是非常值数列的等差数列，S_n为其前n项和，S₅=25，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列；
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

2

an+1

，T_n为数列{b_n}的前n项和，若T_2n-T_n≥t对一切正整数n恒成立，求实数t的范围．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出首项和公差，根据S₅=25，a₁，a₃，a₁₃成等比数列列出关于首项和公差的方程组，通过求解该方程组求出首项和公差，进而写出该数列的通项公式；
（2）根据数列{a_n}的通项公式写出数列{b_n}的通项公式，令An=T2n-Tn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，利用作差法，判断数列{A_n}的单调性，从而求得
T_2n-T_n≥t对一切正整数n恒成立时实数t的范围．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，S5=

a1+a5

2

•5=

2•a3

2

•5=a3•5=25，
∴a₃=5．
a₁，a₃，a₁₃成等比数列．则25=（5-2d）（5+10d），解得d=2，d=0（舍）．
a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）•2=2n-1．
数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）bn=

2

an+1

=

2

2n-1+1

=

1

n

，Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，
令An=T2n-Tn=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
则An+1-An=(

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n+2

)-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)
=-

1

n+1

+

1

2n+1

+

1

2n+2

=-

1

2n+2

+

1

2n+1

＞0，∴An≥A1=

1

2

．
实数t的取值范围为：t≤

1

2

点评：本题考查待定系数法，考查学生对等差数列通项公式的理解能力，以及利用作差法判定数列的单调性，体现了数列的函数特性，同时考查了运算能力，属难题．