Question

【题目】已知函数.

（1）设，讨论的单调性；

（2）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）函数定义域为，由题意得，则，分情况和，由导函数的正负求单调区间即可；

（2）设函数， ，分易知不成立， ，计算函数的最大值为，由，得，令， ，求最值即可.

试题解析：

（1）函数定义域为，由题意得，则，

①当时， ，则在上单调递增；

②当时，令，解得，

当时， ， 在上单调递增，

当时， ， 在上单调递减.

（2）设函数，其中为自然对数的底数，

∴， ，

当时， ， 在上是增函数，∴不可能恒成立，

当时，由，得,

∵不等式恒成立，∴，

当时， ， 单调递增，

当时， ， 单调递减，

∴当时， 取最大值， ，

∴满足即可，∴，

∴，

令， ，

.

令， ，

由，得，

当时， ， 是增函数，

当时， ， 是减函数，

∴当时， 取最小值，

∵时， ， 时， ， ，

∴当时， ， 是减函数，

当时， ， 是增函数，

∴时， 取最小值， ，

∴的最小值为.