Question

【题目】已知椭圆的右焦点为，离心率为，设直线的斜率是，且与椭圆交于， 两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程.

（Ⅱ）若直线在轴上的截距是，求实数的取值范围.

（Ⅲ）以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) ；(Ⅲ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意求得， ，则椭圆的标准方程为．

(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合，可得实数的取值范围是： ．

(Ⅲ)利用弦长公式可得，

利用两点之间距离公式有，

则三角形的面积．

试题解析：

（Ⅰ）由已知得， ，

解得： ，又，

∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）若直线在轴上的截距是，

则可设直线的方程为，

将代入得：

，

，解得： ，

故实数的取值范围是： ．

（Ⅲ）设、的坐标分别为，

的中点为，

则， ，

， ，

因为是等腰的底边，

所以，∴，

∴，解得： ，

∴，

，

∴．