Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知(a7-1)3+2012(a7-1)=1，(a2006-1)3+2012(a2006-1)=-1，则S₂₀₁₂=

2012

．

Answer 1

分析：设f（x）=x³+2012x，则f（x）在R上是增函数，且是奇函数，由条件可得 f（a₇-1）=1，f（a₂₀₀₆-1）=-1，由此推出a₇+a₂₀₀₆=2．再由等差数列的前n项和公式求出结果．

解答：解：设f（x）=x³+2012x，则f（x）在R上是增函数，且是奇函数，由条件可得 f（a₇-1）=1，f（a₂₀₀₆-1）=-1．
∴f（a₇-1）+f（a₂₀₀₆-1）=0，f（a₇-1）＞f（a₂₀₀₆-1），
∴a₇-1+a₂₀₀₆-1=0，∴a₇-1＞a₂₀₀₆-1且 a₇+a₂₀₀₆=2．
∴S₂₀₁₂ =

2002×(a 1+ a 2012)

2

=

2002×(a 7+ a 2006)

2

=2012，
故答案为 2012．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．