题目内容

过曲线xy=1上任意一点处的切线，与两坐标轴构成的直角三角形的面积是（    ）

A、1                                            B、2                    

C、3                                            D、4

B

练习册系列答案
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有下列命题：
①过双曲线xy=k（k＞0）上任意一点的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
2
k；
②曲线xy=k（k＞0）关于原点对称；
③一系列双曲线xy=(
1
4
)n(n=1，2，3，…)，所有这些双曲线的实轴长之和为2
2
；
④“xy=k（k＞0）被直线x+y=2
2k
(k＞0)所截得的线段与x2-y2=k（k＞0）被直线x=2
2k
(k＞0)所截得的线段相等”是必然事件．其中所有真命题的序号是
 
．
过P（1，0）做曲线C：xy=1，x∈（0，+∞），的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an．
（1）求a1的值．
（2）求证数列{an}是等比数列．
（3）设bn=
16an+1316an-3
，问是否存在实数m，使得对于任意的正整数M，N，都有|bM-bN|＜m恒成立．若存在，求出m；不存在，说明理由．
（2009•滨州一模）已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=
1
xn+2
的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=
11
7
．
（I）求xn与xn+1的关系式；
（II）令bn=
1
xn-2
+
1
3
，求证：数列{bn}是等比数列；
（III）若cn=3n-λbn（λ为非零整数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．
定义在D={x∈R|x≠0}上的函数f（x）满足两个条件：①对于任意x、y∈D，都有f（x）f（y）-f（xy）=
x2+y2
xy
；②曲线y=f（x）存在与直线x+y+1=0平行的切线．
（Ⅰ）求过点（-1，
1
4
）的曲线y=f（x）的切线的一般式方程；
（Ⅱ）当x∈（0，+∞），n∈N+时，求证：fn（x）-f（xn）≥2n-2．

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